😍 Округлення числа до потрібної кількості знаків після коми

Округлення чисел ми використовуємо постійно: розраховуючи домашній бюджет, плануючи подорожі, аналізуючи інформацію. Набагато простіше запам'ятати, що в місті проживає приблизно мільйон людей, ніж утримувати в пам'яті точні статистичні дані, а вирушаючи в магазин, краще взяти круглу суму із запасом, ніж намагатися заздалегідь прорахувати ліміт витрат, тим більше, з урахуванням цін, що постійно змінюються.

Історія округлення чисел

Можна з упевненістю говорити, що округлювати числа до рівних значень почали ще у VII-VI століттях до нашої ери — з появою такого загального еквівалента, як гроші. Але точні математичні правила про округлення сформулювалися лише в XIX столітті - завдяки видатному німецькому вченому Карлу Фрідріху Гаусс. Саме він розробив та опублікував правила, за якими числа округляються досі.

Одним із відомих тверджень Карла Гауса, що дійшли до наших днів, є фраза: «Недоліки математичної освіти з найбільшою виразністю виявляються у надмірній точності чисельних розрахунків». Таким чином німецький математик вказував на те, що 100% точність розрахунків потрібна далеко не завжди, і в ряді випадків простіше, швидше та доречніше проводити округлення.

Необхідність округлення чисел пояснювалася ще й примітивністю обчислювальних пристроїв того часу. Так, щоб порахувати числа з 3-10 цифрами після коми на рахунках (абаці), потрібно було витратити багато часу і сил, що далеко не завжди було виправдано. Якщо точність підрахунків дозволяла, числа округляли до кількості знаків, яка відповідала реальної/фактичної точності обчислень.

Коли знадобиться округлення чисел

У XXI столітті необхідність округлення легко вирішується за допомогою електронних обчислювальних пристроїв. Калькулятор з 8-10 знаками після коми за замовчуванням встановлений у кожному мобільному телефоні, не кажучи вже про більш потужні пристрої типу ПК і ноутбуків. Але в ряді випадків простіше і швидше провести округлення в умі, ніж діставати гаджет і проводити обчислення. Наприклад, округлення може стати в нагоді:

Планування покупок. Знаючи приблизну ціну кожного окремо взятого товару, можна швидко дізнатися про їхню сумарну, округлену вартість.
Узагальнення інформації. Наприклад, якщо вас запитають, скільки людей проживає в Нью-Йорку, доречніше буде відповісти «дев'ять мільйонів», ніж «вісім мільйонів чотириста шістдесят сім тисяч п'ятсот тринадцять»,
Умноженні/розподілі великих чисел. Мало хто може без калькулятора помножити 738 на 46, але якщо ці числа округлити (до 700 і 50), завдання переходить у розряд математики 2 класу. Помножуємо 7 на 5, додаємо до отриманого значення нулі, що залишилися, і отримуємо приблизне значення — 35000. Точний же добуток цих двох чисел — 33948, тобто похибка становить приблизно 3%.

Округлити числа можна у більшу та меншу сторону. Наприклад, перший варіант необхідний при плануванні покупок — щоб залишався запас у разі підвищення цін, а другий — визначення віку. Так, якщо ваш фактичний вік становить 28 років та 11 місяців, у всіх анкетах та офіційних документах все одно вказуємо 28 років.

Цікаві факти

Найбільш «знаковим» і «щасливим» числом у світі вважається сімка. Це не дивно, адже сім тижнів тижня, на планеті сім континентів, у веселці сім квітів, а в Біблії — 7 чеснот і 7 смертних гріхів.
Найбільшим є «гугол», на честь якого було названо найбільшу американську компанію Google. Пишеться воно по-іншому — Googol, і становить одиницю зі 100 нулями або десять сотою мірою.
Кількість пі (π), що дорівнює відношенню довжини кола до її діаметра, завжди однакова і являє собою число з нескінченною послідовністю цифр після коми. Для спрощення розрахунків цю константу округляють до 3,14, але насправді вона не має кінця, і після коми розташовані тисячі знаків.
Незважаючи на те, що нуль — найважливіша цифра в математиці, у системі літочислення не існує нульового року: лише 1 рік до нашої ери та 1 рік нашої ери.
Число 13 вважається нещасливим. У багатьох будівлях на Заході відсутні тринадцяті поверхи, тринадцяті номери та квартири, бо люди просто відмовляються там жити. А число 7 вважається щасливим далеко не у всіх країнах, у тому ж Китаї набагато сприятливішими є 8 (процвітання) та 9 (повнота небес та землі).

Проводити зразкове округлення чисел можна в голові, а для більш точних розрахунків використовуються спеціальні програми та онлайн-калькулятори. Залежно від заданих параметрів, числа округляються у більший чи менший бік із потрібною точністю та градацією. Сьогодні такі програми доступні у вільному доступі та надаються на безкоштовній основі.

Округлення чисел — поширена математична операція, яка застосовується не лише у вузькоспеціальних сферах, а й у повсякденному житті. Як правильно округляти натуральні та дробові числа: до найближчого цілого, до більшого чи меншого значення, а також за модулем чи випадковим чином? Для цього існують свої правила та алгоритми.

Натуральні та дробові числа

Всі числа з двома або більше знаками піддаються округленню. Остання цифра у яких замінюється на 0, а попередня збільшується на одиницю чи залишається незмінною. Наприклад, після округлення числа 238 у більшу сторону утворюється число 240, а після округлення числа 564 у меншу сторону - 560.

Це правило є однаковим для всіх багатозначних чисел, відрізняється лише кількість доступних розрядів округлення. Так, для двозначного числа є лише округлення до десятків, для тризначного — до десятків і сотень, для чотиризначного — до десятків, сотень і тисяч.

У випадку з дробовими числами розрахунок проводиться приблизно так само, тільки до цілих значень також додається можливість округляти цифри після коми. Так, багатозначні десяткові числа можна округляти до:

цілих значень,
десятих,
сотих,
тисячних,
десятитисячних.

Все залежить від початкової кількості знаків після коми (на момент округлення) та необхідної точності обчислення. Якщо мінімальна, розрахунок проводиться до цілих значень. Наприклад, якщо округляється необхідна кількість плитки для інтер'єрного оздоблення приміщень із заздалегідь порахованою площею числа 40,786; 67,34; 82,9064 – округляються до 41, 68 та 83 відповідно – без дробових значень.

Способи округлення чисел

Існує 6 способів округлити багатозначне число: до найближчого цілого, до меншого, до більшого, до меншого за модулем, до більшого за модулем і випадковим чином.

До найближчого цілого

Найпоширеніший спосіб заокруглення, прийнятий у більшості систем розрахунків за умовчанням. Його правила прості: якщо число, що округлюється, після додавання одиниці стає більше п'яти, округлення проводиться у більшу сторону, а якщо менше п'яти — в меншу. Наприклад:

12,9 → 13.
−1,3 → −1.
2,5 → 3.

Максимальна похибка для цього способу становить 0,5 від останнього розряду, що зберігається.

До меншого значення

Бо спосіб застосовний і до позитивних, і до негативних чисел, зменшення може відбуватися і шляхом додавання, і шляхом віднімання. Наприклад:

2,6 → 2.
−2,6 → −3.

Тобто, на відміну від попереднього способу, максимальна похибка тут становить не 0,5, а 1. Як правило, така система застосовується щодо дебіторів (що віддають гроші), і на жаргоні називається «округленням на користь покупця». /p>

До більшого значення

Цей спосіб працює з точністю до навпаки з попереднім, і після округлення 2,6 перетворюється на 3, а −2,6 — на 2. Така система широко поширена в торгівлі, і найчастіше застосовується щодо осіб, які отримують гроші ( продавців, кредиторів, посередників).

До меншого значення, за модулем

Вважається найпростішим способом округлення, оскільки цифри всіх попередніх розрядів завжди залишаються незмінними і не збільшуються на 1. Значення має лише модуль (ціле значення) числа, наприклад:

12,9 → 12.
-76,2 → -76.

У позитивній числовій осі похибка завжди негативна, а негативної — позитивна. Щодо розміру похибки, то вона знаходиться в межах одиниці останнього (округленого) розряду.

Щодо округлення до більшого значення за модулем, то він вважається «екзотичним» і використовується вкрай рідко. Його принцип зворотний попередньому способу, тобто остання цифра округляється до більшого значення, з похибкою від −1 до 1 для негативних і позитивних чисел відповідно.

До останнього способу відносять випадкове округлення, при якому число збільшується або зменшується до потрібного розряду довільно - з ймовірністю, що дорівнює дробовій частині. Цей спосіб дозволяє мінімізувати накопичення помилок і робить їх випадковою, а не постійною величиною з нульовим математичним очікуванням.

Округлення числа